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广东省2013年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求)
( )1.已经三个数列{an}、{bn}和{cn}满足an
bn
cn(n∈N+)，且
an=a，
cn=c(a、b为常数，且a A.有界 B.无界 C.收敛 D.发散
( )2.x=0是函数
，的
A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.第二类间断点
( )3.极限
2xsin
=
A.0 B.2 C.3 D.6
( )4.如果曲线y=ax-
的水平渐近线存在，则常数a=
A.2 B.1C.0 D.-1
( )5.设f(x，y)为连续函数，将极坐标形式的二次积分
化为直角坐标形式，则I=
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
6.设f(x)在点x0处可到，且f’(x0)=3，则
7.若
，则f”(
)=____ .
8.若曲线y=x3+ax2 +bx+1有拐点(-1，0)，则常数b= ____.
9.广义积分
________.
10.设函数f(u)可微，且f’(o)=
，则z=f(4x2一y2)在点(1，2)处的全微分
______.
三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)
11.计算
.
12.设函数y=f(x)由参数方程
所确定，求
(结果要化为最简形式).
13.确定函数
的单调区间和极值.
14.求不定积分
.
15.设
，利用定积分的换元法求定积分
.
16.求微积分方程y’’一4y'+13y=0满足初始条件
特解.
17.已知二元函数z=x(2y+1)x，求
.
18.计算二重积分
，其中D是由曲线y=
及直线y=1，x=0围成的闭区域.
四、综合题(大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分)
19.已知C经过点M(1，0)，且曲线C上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP(O为坐标原点)的斜率之差等于ax(常数a>0).
(1)求曲线C的方程;
(2)试确定a的值，使曲线C与直线y=ax围成的平面图形的面积等于
.
20.若当x→0，函数
与x是等价无穷小量;
(1)求常数a的值;
(2)证明：
.
附：广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》答案
广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C
二、填空题(本大题共5小题，每个空3分，共15分)
6.-6
7.
8.3
9.ln2
10.4dx - 2dy
三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)
11.解：原式=
， (2分) .
(4分)
(6分)
12.解：
(3分)
(结果没有化简扣2分). (6分)
13.解：函数
的定义域为
，
， (2分)
令
，解得x=0，x=-1 因为在区间(-∞，-1)内，
;在区间(-l，0)内，
<0;
在区间(0，+
)内，
，所以
的递增区间是(-
，-1)及(0，+
)，递减区间是(-1，0)， (4分)
的极大值是
的极小值
. (6分)
14.解：
(2分)，
(6分)
(2分)
(4分)
. (6分)16.解：由微分方程的特征方程r2 - 4r +13=0解得r=2±3i， (2分)
所以此微分方程的通解为
. (4分)
因为
, 由
解得C1=1，C2=2，故所求特解为
. (6分)
17.解：
, (2分)
， (4分)
故
(6分)
18.解：积分区域D如图：
(3分)
(6分)四、综合题(本大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分)
19.解：(1)设曲线C的方程为y=厂O)，由题意知
. (2分)
由
得
(4分)
,
因为
，解得
故曲线C的方程为
. (6分)
(2)如图，
由
解得x=0，x=2， (10分)
即
，解得a=2. (12分)
由题意知
，
20.解：(1)解：由题意知
， (4分)
. (2)证：
，
设
，
则
， (6分)
令
，在区间(0，2)内解得x=l，
因为g(0)=1，g(1)=
，g(2)=4，
所以g(x)在区间[0，2]上的最大值为4，最小值为
. (8分)
由定积分的估值定理可得
，
所以有
. (10分)
